컴퓨터 상에서 적분을 수행하기 위한 방법 중 가장 기초적이라고 할 수 있는 사다리꼴 공식이다.
이름에서 유추할 수 있듯이, 적분의 근사치를 구하기 위해서 함수를 사다리꼴들로 나누어 값을 얻어낸다.
그 이유는 다음 그림에서처럼 구간 [a, b]에서 어떤 함수 f(x)는 적분이 간단한 일차함수인 g(x)로 근사화할 수 있기 때문이다.
g(x)의 적분 영역은 옆으로 누워있는 사다리꼴 모양이 된다.
잘 보면 사다리꼴의 넓이가 실제 적분 영역의 넓이를 다 채우지 못하거나, 조금 넘어버리는 것을 알 수 있는데 이러한 영역이 근사치의 오차가 된다.
사다리꼴들의 폭이 작아질수록 최종적인 근사치의 정확도가 향상된다는는 것을 직관적으로 알 수 있을 것이다.
사다리꼴들의 높이(x축 간격)를 일정하게 했을 경우, 최종적인 식은 다음과 같이 정리된다. (위키피디아 발췌)
사다리꼴 공식은 심프슨(Simpson) 공식이나 가우스 구적법 등에 비하면 정확도가 조금 떨어질 수 있다.
이하는 이것을 C언어로 구현한 예시(example)이다.
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 테스트함수01, y = x^3 - 5x^2 + 2x + 1
double function01(double x)
{
return (x*x*x - 5*x*x + 2*x + 1);
}
// 함수 func에 대해 구간 a에서 b까지 n개의 사다리꼴로 나누어 면적을 구한다.
// n이 커질수록 정확도가 증가한다.
double integral_trapezoidal(double (*func)(double), double a, double b, int n)
{
int i;
double result, top_edge, bot_edge;
double height = (b-a) / n;
double height_half = height / 2;
top_edge = func(a);
bot_edge = func(a+height);
result = (top_edge+bot_edge) * height_half;
for ( i=2; i<=n; i++ )
{
top_edge = bot_edge;
bot_edge = func( a + i*height );
result += (top_edge+bot_edge) * height_half;
}
return result;
}
int main()
{
double a, b;
int n;
printf("입력[a, b, n]: ");
scanf("%lf %lf %d", &a, &b, &n);
printf("구간 [%.2lf, %.2lf] n=%d\n\ 적분결과: %.6lf\n",
a, b, n, integral_trapezoidal(function01, a, b, n));
return 0;
}
